\documentclass{sig-alternate}

\begin{document}
%
% --- Author Metadata here ---
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\title{\textquestiondown Uno bueno o dos m\'as o menos?}

\numberofauthors{3}
\author{
\alignauthor
Campelo, Guillermo\\
       \affaddr{Instituto Tecnolgico de Buenos Aires}\\
       \affaddr{Madero 399}\\
       \affaddr{Buenos Aires, Argentina}\\
       \email{gcampelo@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Go\~{n}i, Juan Ignacio\\
       \affaddr{Instituto Tecnolgico de Buenos Aires}\\
       \affaddr{Madero 399}\\
       \affaddr{Buenos Aires, Argentina}\\
       \email{jgoni@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor 
Gutierrez, Agust\'{i}n\\
       \affaddr{Instituto Tecnolgico de Buenos Aires}\\
       \affaddr{Madero 399}\\
       \affaddr{Buenos Aires, Argentina}\\
       \email{aggutier@alu.itba.edu.ar}
}
%\date{August 2008}

\maketitle
\begin{abstract}
En el presente art\'iculo, se simulan dos modelos de servicio simple con distintos
tiempos medios de atenci\'on. Se estudia la eficiencia de un modelo sobre el otro
y sacan conclusiones.
\end{abstract}

\keywords{Simulaci\'on, Modelo de cola simple, FIFO}

\section{Introducci\'on}
\label{introduction}
Sucesivas veces surge el dilema de saber qu\'e resulta m\'as eficiente a la hora de
atender una serie de trabajos, un \'unico servidor eficiente y de  
buena calidad, o dos con mayor tiempo de respuesta, pero trabajando en paralelo. 
\textquestiondown Se justifica la inversi\'on?,
\textquestiondown Se obtienen mejores resultados?, \textquestiondown
O nos quedamos con lo que tenemos?

\par Para esto, en la secci\'on \ref{modelo}, se crea un modelo de servicio simple del tipo 
\emph{M/M/1/$\infty$/FIFO}.

Se analiza la cantidad de clientes en la cola, el tiempo medio de espera en la
misma, el tiempo medio de un cliente en el sistema y el nivel de utilizaci\'on
del servidor.

En las secciones \ref{Parte2_a} y \ref{Parte2_b}, se realizan simulaciones del modelo,
con distintos tiempos medios de atenci\'on y cantidad de servidores activos, respectivamente.

Se comparan las distintas simulaciones del modelo y en la secci\'on \ref{conclusiones},
se obtienen conclusiones.

\section{El modelo}
\label{modelo}

Se considera un servidor simple que atiende ciertos clientes bajo las suposiciones de
ser un \'unico servidor, la capacidad de la poblaci\'on de clientes es infinita, y tanto el
tiempo de arribo, como el tiempo de servicio, son variables aleatorias modeladas con una
distribuci\'on exponencial seg\'un la ecuaci\'on \ref{expon}, de media 1 minuto.

\begin{equation}
\label{expon}
f_{x}(x) = \frac{1}{\mu} e^{\frac{-x}{\mu}}
\end{equation}


\subsection{\textquestiondown \'Esta es la cola?}
\label{punto1}
Se analiza la expresi\'on
\begin{equation}
\label{L_Q}
L(t) = Q(t) + 1
\end{equation}
donde $L(t)$ es la canidad de clientes en el sistemas y $Q(t)$ la cantidad de clientes en
la cola. Por tratarse de una cola \emph{M/M/1/$\infty$/FIFO}, est\'a ecuaci\'on parece ser
siempre cierta, sin embargo no lo es. Cuando es falsa? Cuando el servidor no est\'a ocupado,
(\emph{IDLE}). En ese caso $L(t) = 0$ y $Q(t) = 0$, por lo que la ecuaci\'on resulta falsa.

\section{\textquestiondown Cu\'anto falta para ser atendido?}
\label{punto2}

Tras una realizaci\'on, se obtiene el gr\'afico de la figura 1,
donde se observa el comportamiento de la cola, entre el tiempo $t=0$ y hasta que
arriba el cliente n\'umero 10.

\begin{figure*}
\label{g_qvst_1}
\centering
\epsfig{file=graph/g_punto2_1.eps}
\caption{Cantidad de clientes en la cola para una realizaci\'on con como m\'aximo 10 clientes en el sistema}
\end{figure*}



\subsection{Y su tr\'amite tardo...}
\label{punto3}

La ecuaci\'on \ref{eq1} establece el promedio de clientes en el sistema respecto
a la cantidad de arribos al mismo. En el modelo actual, a pesar de variar para
las ditintas realizaciones de la simulaci\'on, tiene tendencia a incrememntar su
valor. \'Esto se debe a que la tasa de clientes que llegan al sistema es comparable
y a veces superior a la tasa de clientes atendidos por el servidor. Los clientes
se van acumulando en la cola esperando a ser atendidos.
En la ecuaci\'on \ref{eq2}, se observa este fen\'omeno. El promedio de clientes
en la cola, guarda una gran relaci\'on con el promedio de clientes en el sistema,
como se explica en el apartado \ref{punto1}.

\begin{equation}
\label{eq1}
\bar{L}(n) = \frac{\int^{T(n)}_{0} Q(t) dt}{T(n)}
\end{equation}

y

\begin{equation}
\label{eq2}
\bar{Q}(n) = \frac{\int^{T(n)}_{0} Q(t) dt}{T(n)}
\end{equation}

\begin{figure*}
\label{g_l_n}
\centering
\epsfig{file=graph/L_rayita.eps}
\caption{Promedio de clientes en el sistema respecto de la cantidad de clientes arribados al mismo}
\end{figure*}

\begin{figure*}
\label{g_q_n}
\centering
\epsfig{file=graph/Q_rayita.eps}
\caption{Promedio de clientes en la cola respecto de la cantidad de clientes arribados al sistema}
\end{figure*}

El gr\'afico de la figura 2 refleja la cantidad, en promedio, de
clientes en el sistema y la figura 3, el promedio de clientes en
la cola, ambos, como funci\'on de la cantidad de clientes que fueron entrando
al sistema.

\subsection{\textquestiondown El servidor est\'a ocupado?}
\label{punto4}

Un par\'ametro de an\'alisis, puede ser la proporci\'on de tiempo
en que el servidor se encuentra ocupado atendiendo a un cliente. La
funci\'on $\bar{B}(n)$ analiza dicho trabajo y se muestra en la figura
4.

\begin{figure*}
\label{g_b_n}
\centering
\epsfig{file=graph/utility.eps}
\caption{Utilidad del servidor respecto de la cantidad de clientes arribados al sistema}
\end{figure*}

\begin{equation}
\label{eq3}
\bar{B}(n) = \frac{\int^{T(n)}_{0} B(t) dt}{T(n)}
\end{equation}

Teniendo en cuenta que hay un \'unico servidor, es razonable encontrar una
alta actividad en el servidor durante la simulaci\'on del modelo. Pocas veces
el mismo se encuentra en estado de reposo, por falta de clientes en espera en
la cola.

\subsection{Estamos experimentando cierta congesti\'on...}
\label{punto5_10}

En base a las sucesivas simulaciones del modelo, se obtiene una 
relaci\'on experimental del nivel de ocupaci\'on de la cola y el
uso del servidor, en funci\'on de la cantidad de clientes que
llegan al sistema.

Se obtienen resulados caracter\'isticos de los par\'ametros de
entrada y del modelo. Estos valores, son de gran utilidad para
poder realizar comparaciones entre las distintas posibles 
mejoras, y se listan a continuaci\'on,

Para una realizaci\'on de la simulaci\'on se obtienen los resultados de
la tabla \ref{t_modelo1}.

En la figura 5 se grafica la relaci\'on entre el tiempo medio
de un cliente en el sistema y la cantidad $n$ de clientes arribando al mismo.
De igual manera, sen la figura 6 se observa la m\'axima cantidad
de clientes que estuvieron esperando en la cola a ser atendidos en funci\'on
de $n$.
En la figura 7 se plasma el m\'aximo retardo en la cola en funci\'on de $n$.
En la figura 8, el m\'aximo retardo en sistema, y en la figura 9
se muestra la proporci\'on de clientes que debieron esperar m\'as de 1 minuto
a ser atendidos.

\begin{figure*}
\label{g_tmcs}
\centering
\epsfig{file=graph/mean_time.eps}
\caption{Tiempo medio de un cliente en el sistema respecto de la cantidad de clientes arribados}
\end{figure*}

\begin{figure*}
\label{g_nmcc}
\centering
\epsfig{file=graph/max_c_queue.eps}
\caption{M\'axima cantidad de clientes en la cola respecto de la cantidad de clientes arribados}
\end{figure*}

\begin{figure*}
\label{g_mrc}
\centering
\epsfig{file=graph/max_delay_queue.eps}
\caption{M\'aximo retardo en la cola respecto de la cantidad de clientes arribados al sistema}
\end{figure*}

\begin{figure*}
\label{g_mrs}
\centering
\epsfig{file=graph/max_delay_system.eps}
\caption{Retardo m\'aximo en el sistema respecto de la cantidad de clientes arribados}
\end{figure*}

\begin{figure*}
\label{g_pcm1m}
\centering
\epsfig{file=graph/more_than_one_minute.eps}
\caption{Proporci\'on de clientes que debieron esperar m\'as de 1 minuto a ser atendidos respecto de la cantidad de clientes arribados}
\end{figure*}

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{l c}
\hline
\\
Tiempo medio de un cliente en el sistema & $4.86$ minutos \\
N\'umero m\'aximo de clientes en la cola & $18$ clientes\\
M\'aximo retardo en la cola & $17.54$ minutos \\
M\'aximo retardo en el sistema & $18.32$ minutos \\
Clientes con mas de 1 minuto de retardo & $66\%$ \\
\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Resultados para una realizaci\'on del modelo con un tiempo medio
de servicio de 1 minuto}\label{t_modelo1}
\end{center}
\end{table}


\section{Incrementando la velocidad...}
\label{Parte2_a}

Una mejora en la calidad del servidor puede simularse tomando un tiempo
medio de servicio de la mitad del actual, es decir, 30 segundos. Con
dicha modificaci\'on, se procede a realizar nuevamente los c\'alculos,
y se obtienen los valores de la tabla \ref{t_modelo2a}.

Se puede apreciar un notable incremento en la eficiencia del sistema. El 
tiempo medio de un cliente en el sistema, para una realizaci\'on del
mismo, es aproximadamente del $10.79\%$ del primero modelo.


En forma comparativa, se muestra en las figuras 5, 6, 7, 8, y 9, el 
aumento de performance respecto a la primera versi\'on del modelo estudiado.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{l c}
\hline
\\
Tiempo medio de un cliente en el sistema & $0.52$ minutos \\
N\'umero m\'aximo de clientes en la cola & $4$ clientes \\
M\'aximo retardo en la cola & $2.47$ minutos \\
M\'aximo retardo en el sistema & $3.42$ minutos \\
Clientes con mas de 1 minuto de retardo & $22\%$ \\
\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Resultados para una realizaci\'on del modelo con un tiempo medio
de servicio de 30 segundos}\label{t_modelo2a}
\end{center}
\end{table}

Se puede observar tambi\'en, una menor tasa de uso del servidor, debido a que
como tiene un tiempo medio de servicio menor que el modelo del apartado \ref{modelo},
el mismo, se libera antes y sucede m\'as veces que se encuentra en estado de reposo.

\section{Sumando uno al grupo}
\label{Parte2_b}

Otra posible mejora del modelo, en vez de cambiar el servidor actual,
ser\'ia agregar un servidor de iguales caracter\'isticas, que trabajando
en paralelo, descongestione al sistema.

Con dicha modificaci\'on, se procede a realizar nuevamente los c\'alculos,
y se obtienen los valores de la tabla \ref{t_modelo2b}.





\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{l c}
\hline
\\
Tiempo medio de un cliente en el sistema & $1.17$ \\
N\'umero m\'aximo de clientes en la cola & $4$ \\
M\'aximo retardo en la cola & $2.60$ \\
M\'aximo retardo en el sistema & $6.28$ \\
Clientes con mas de 1 minuto de retardo & $8\%$ \\
\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Resultados para una realizaci\'on del modelo con dos servidores, con
un tiempo medio de servicio de 1 minuto, trabajando en paralelo}\label{t_modelo2b}
\end{center}
\end{table}

\section{Conclusiones}
\label{conclusiones}

Como se ha observado, a veces invertir un poco en m\'as y mejores recursos trae sus
beneficios. Pero no siempre, a veces el volumen de trabajos no justidica el gasto.

Como puede observarse en las tablas \ref{t_modelo1}, \ref{t_modelo2a} y \ref{t_modelo2b},
la mejora del modelo propuesta en el apartado \ref{Parte2_a} es levemente superior
en ciertos aspectos como son el tiempo medio de un cliente en el sistema, y los tiempos
m\'aximos de retardo tanto en la cola como en el sistema. Pero no hay que olvidarse
que son realizaciones de cada modelo, y no pueden ser concluyentes.

Para este prop\'osito, se deben analizar las figuras 5, 6, 7, 8 y 9, donde se comparan
distintas realizaciones, para cantidades de clientes diferentes. En los cuales, puede
observarse la gran ventaja de tener un servidor de menor tiempo medio de servicio.

Un \'unico servidor eficiente logra atender y solucionar el pedido de cada cliente m\'as
r\'apido que 2 servidores de menor calidad. \'Esto se ve reflejado en los tiempos medios
de los clientes en la cola y el sistema. Adem\'as, se observa que el servidor se encuentra
ocupado la mayor\'ia del tiempo, lo que no sucede con el conjunto de doble servidor.

Este \'ultimo punto, no es especialmente despreciable, ya que si se tiene en cuenta el gasto
energ\'etico de mantener 2 servidores en funcionamiento y sumado a la inversi\'on requerida
para el montaje del sistema, no aparece reflejado en las mejoras de servicio.

Pero hay que tener en cuenta algo, si la demanda aumenta, se estar\'ia llevando al l\'imite
de su capacidad a un \'unico servidor. Si esto sucede, la divisi\'on de tareas deber\'a
ser nuevamente un punto de an\'alisis para determinar la conveniencia de cada modelo, aunque
por ahora, uno bueno, es mejor.

\end{document}
